崔腾飞¹ 蔡姗姗¹ 刁广琦² 
1 华中科技大学能源与动力工程学院  2 中铁第四勘察设计院集团有限公司

    【摘  要】现有的竖直地埋管换热器分析模型通常忽略地下水流动和钻孔轴向导热的影响，且不适用于整个时间尺度的流体温升预测，普通的线热源模型产生的热响应延迟导致流体预测温升偏大。本文提出了一种同时考虑地下水流动和钻孔轴向导热影响的全时间尺度分析模型，适用的时间尺度从几分钟到数十年，并在此模型基础上进一步分析了钻孔内参数、运行时间和地下水流动对地埋管换热性能的影响。

    【关键词】地源热泵；地埋管换热器；分析解；地下水；全尺度

1 前言

    在很多国家，地源热泵系统是其浅层地热能源利用的一种主要方式^{[1, 2]} 。在闭式地源热泵系统中，流体介质通过竖直或水平地埋管换热器与土壤进行换热，可用于环境供热、空调系统、商业或民用建筑的热水供应等。竖直地埋管换热器因占地面积相对较小，受大气环境和季节变换影响较弱而具有更大的发展潜力。

    传统的竖直地埋管换热器传热分析方法是将换热器的传热过程分为钻孔内的稳态传热和钻孔外的非稳态传热过程两部分。钻孔外的瞬态传热模型主要基于Ingersoll^[3]提出的无限长线热源模型和圆柱热源模型，因为钻孔尺寸相对较小（管长/管径≈150m/0.05m），钻孔内物质的热容相对周围土壤的热容也很小，所以钻孔内的传热过程可近似为稳态传热过程。基于此假设，出现了采用等效直径处理方法的一维导热模型、考虑U型支管相互影响的二维模型^[4]以及考虑流体温度变化相互影响的准三维模型^[5] 。由于冷热负荷随时间波动的影响，钻孔内结构的热响应时间大概有数小时，因此，钻孔内稳态传热的假设显然不够完善。Eskilson^[6]提出钻孔内稳态导热的假设要在τ≥5r_b²/a（通常为4～8小时）时才能避免产生较大的预测误差；Claesson^[7]根据等效直径假设，得到了从几分钟到数十年时间尺度的分析解模型，并且得到线热源模型与考虑钻孔内传热过程的等效直径模型相比有一定的时间延迟；Li^[8]提出了非稳态复合介质全尺度模型，考虑了钻孔内的瞬态传热现象，但此模型并不适用于有地下水流动影响的情况。如果在设计阶段考虑地下水流动的影响，可节约16%的投资成本^[9] 。目前虽然出现了考虑地下水流动影响的移动无限长线热源模型和考虑钻孔轴向导热的移动有限长线热源模型，但移动线热源模型由于不考虑钻孔内的传热过程，所以也不适用于短时间尺度热响应的分析。

    因此，本文提出了一种同时考虑短时间尺度热响应、地下水流动和钻孔轴向导热影响的分析模型，将提出的模型和传统线热源模型和移动线热源模型进行了对比，并进一步研究了钻孔内参数、运行时间和地下水流动等对换热器热响应的影响。

2 模型基本理论

    有地下水流动时竖直地埋管换热器的简图如图1所示。假设地下水沿x轴单方向均匀流动，Darcy速度为u_d。

    2.1 不考虑地下水流动的分析解模型

    在工程应用中，钻孔有较大的长径比（直径为0.11～0.2 m，长度为40～200 m），钻孔可以假设成是一个线热源，忽略钻孔轴向导热。根据无限长线热源（ILS）模型理论，钻孔壁面处的温度G函数见公式（1）[6]。

   

    其中，u为积分变量，E1为指数积分函数。约1.6年之后[10]，忽略轴向导热影响的无线长线热源模型会产生很大的误差，这将导致设计管长增加约15%[11]。考虑钻孔两端边界条件的影响，出现了有限长线热源理论（FLS），此时钻孔壁面的积分平均温度G函数见公式（2）[12]。

   

    其中，l、z为积分变量，erfc(x)为余误差函数。以上模型均是基于钻孔内为稳态导热的假设，忽略了回灌材料热熔和支管布置结构等钻孔内部参数的影响，不能用于考察钻孔内的瞬态导热过程。Li^[13]等在Jaeger的基础上提出了复合介质线热源（CMLS）模型，简图如图2所示。将流体进出的两U型支管假想成无限长线热源，管外壁面平均温度可近似认为是A和B两点温度的平均值。

    根据无限大介质中线热源模型，使用A和B两点的平均温度得到线热源温度G函数如公式（3）至公式（4）所示^{[8, 14]} 。

   

    其中，无量纲热扩散系数a*=，无量纲热导率k*=k/kb，r´为线热源位置半径，r_A、r_B为A和B点的位置半径，u为积分变量，上式可以使用文献[15]中给出的简化数值积分进行计算。

    2.2 考虑地下水流动影响的分析解模型

    上述模型均没有考虑地下水流动对钻孔换热器换热过程的影响，如果在设计阶段不加考虑地下水流动的影响，很可能产生过大设计^[16] 。在均匀初始温度条件下，Sutton^[17]和Diao^[16]等给出了无限大多孔介质中的移动无限长线热源（MILS）模型公式。 

   

    其中，υ_T=u_d(ρC_p)w/ρC_p为有效热传递速率，引入无量纲量Pe=υ_TH/a,F₀=at/H²，并对整个钻孔壁面的温度进行积分，由此可以得到我们关注的钻孔壁面积分平均无量纲温度G函数见公式（6） ^[16] 。 

   

    其中，，ψ为积分变量。Molina-Giraldo等[18]假定地表温度恒定，土壤为半无限大均匀介质，提出了移动有限长线热源（MFLS）模型，钻孔壁面无量纲积分平均温度G函数表达式见公式（7）至公式（8） ^[18] 。

   

    上面叙述的模型公式可以利用文献中[19]给出的简化方法计算。当不考虑地下水流动的影响时（即Pe=0），移动线热源公式分别退化为无限长线热源和有限长线源模型公式，见公式（9）。

   

3 考虑地下水流动影响的全时间尺度模型

    传统的ILS/FLS模型和CMLS模型分别适用于中长时间尺度和短时间尺度无渗流影响的情况，而MILS/MFLS模型适合中长时间尺度有地下水渗流影响的情况。我们发现，ILS/FLS模型和CMLS模型在中时间尺度（tb<Fo<tH）的预测结果相差一个恒定的温差ΔT，如图3所示，其公式可表示为公式（10）。

   

    其中，ΔT为温度响应延迟量，tb为短时间尺度与冲时间尺度的转变点，它与钻孔内参数有关，tH为中时间尺度与长时间尺度的转变点，它与钻孔长度有关。根据转换时间的假设，我们可以得到考虑地下水流动影响的全时间尺度模型CMLS-MFLS，由公式（3）至公式（8）可以得到流体管壁面无量纲平均温度G函数表达式，见公式（11）。

   

    由此可得到全时间尺度模型CMLS-MFLS的流体管壁面温度G函数的完整表达式（12）。在一定冷热负荷作用下的流体平均温度则可通过公式（13）进行计算。由于公式（12）可通过分段求解的方法进行简化计算，流体温升的计算表达式如公式（14）所示。

   

    其中，R_p=[l_n(r_o/r_i)+k_p/(r_ih)]/(2πk_p)为流体支管热阻，N_u=2hr_i/k_f=0.023Re^4/5Prⁿ，h为对流换热系数，当流体被加热时n=0.4，被冷却时n=0.3。Rb为钻孔内稳态热阻，它适用于中长时间尺度的情况。现阶段已有众多方法计算钻孔稳态热阻的分析解，部分解析方法如表1所示：

    注：λ₁=r_b/r_o；λ₂=r_b/xU; λ₃=r_p/(2xU);σ=(k_b-k_s)/(k_b+k_s)

    图4所示为不同钻孔热阻模型求解得到的不同管间距下的无量纲钻孔热阻值，与COMSOLTM数值解的偏差量如表2所示。从下面对比的结果中可以看出，在不同的管间距下，多级方法预测得到的无量纲钻孔热阻最好。因此，将采用多级方法的经验公式预测钻孔稳态热阻Rb。

4 结果与分析

    在模型的求解与分析中，相关参数按表3选取。

    如图3所示为不同钻孔材料参数条件下，CMLS模型和常规ILS/FLS模型的热响应曲线比较。从图中可以看出，由于线热源模型不考虑钻孔内的传热过程，所以热响应过程相比较考虑钻孔内传热的CMLS模型存在一个温度响应延迟量∆T。图5所示为根据转换时间（t_b≈7.67小时，t_H≈0.87年）构建出的不考虑地下水流动影响的全时间尺度模型流体温升随时间的变化曲线。

    图6所示为不同地下水流动速度下，MILS模型和MFLS模型的热响应曲线。在热响应初期Fo<104，两模型的预测结果几乎一致，说明此时间段内，钻孔的轴向导热可以忽略不计；而当Fo>104，两模型的预测值出现了明显的差异，该差异随着Pe数的增大而逐渐减小，说明在较长的时间尺度下，钻孔轴向的导热不可忽略，但随着地下水流动速度的增加，地下水流动对换热的影响逐渐增强，钻孔轴向导热的影响逐渐被削弱。当Pe>10时，地下水流动的影响占优，此时可以忽略轴向导热的影响；当Pe<0.2时，钻孔轴向导热影响占主导地位。随着Pe数的增大，地埋管的换热能力逐渐变强，对流换热达到稳态的时间越来越短。在Fo>10时，移动线热源模型和常规不考虑地下水流动的线热源模型预测结果产生了明显的差异，且随着Pe数的增大，差异逐渐变大，此时如果继续使用常规的线热源模型将会产生较大误差。

    图7所示为本文提出的不同地下水流动速度条件下的全尺度模型CMLS-MFLS的流体温升曲线图，模型与MFLS模型预测的温升结果对比如图8所示。从图中可以看出，两类模型的预测值在Fo<10时相对偏差达50%以上，随着地下水流动速度的增加，两模型的预测值偏差进一步增大。在地下水流动速度不变的情况下，随着运行时间的增加，两模型的预测偏差呈减小趋势，表明提出的全时间尺度模型可较好的修正移动有限长线热源模型未考虑钻孔传热过程在短时间尺度内出现较大的预测偏差。

    水流动速度条件下预测得到的流体随时间的温升曲线    

5 结论

    在传统地埋管换热器传热分析模型的基础上，本文提出了一种全时间尺度CMLS-MFLS模型，模型考虑了地下水流动和钻孔轴向导热的影响，能够可以用于计算短时间尺度单钻孔热响应G函数，模型物理概念清晰，与常规分析解求解一样简单。以下是得出的主要结论和发现：

    （1）提出的CMLS-MFLS模型具有复合介质线热源模型考虑钻孔内传热过程的优点，可以有效地避免传统线热源模型（ILS/FLS/MILS/MFLS）由于不考虑钻孔内传热过程导致的热响应延迟，以此适用于短时间尺度地下换热器的模拟分析。在本文的模拟参数下，新模型可避免的温度偏差约为0.5℃。

    （2）CMLS-MFLS模型与常规移动线热源对比结果表明，常规的移动线热源模型由于忽略钻孔内导热和钻孔轴向导热，将导致较大的预测误差。通过分析还可以得到，当地下水流动速度较大时（Pe>10），轴向导热的影响相比地下水流动对换热的影响要大很多，此时可以忽略钻孔轴向导热的影响。当地下水流动速度较小时（Pe<0.2），地下水流动对换热的影响可以忽略，此时钻孔轴向导热的影响占主导因素。 

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    备注：本文收录于《建筑环境与能源》2018年10月刊总第15期（第21届暖通空调制冷学术年会文集）。
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